補数による負のデジタル2進数の表現と、減法演算のしくみをわかりやすく【高校情報Ⅰ、共通テスト向け】

コンピュータは２進数をもとにして演算を行います。
整数値０,１,２, … は２進法で数えることができますが、
( → デジタル情報の特徴～２進法 … )
それだけでなく、補数表現という方法により負の数をも表し、扱えるのです。
このしくみについても、高校情報 Ⅰ で学習します。
見ていくことにしましょう。そのために、

２進数の復習から

詳しくは「デジタル情報の特徴～２進法 …」の記事に譲りますが、見返すのが面倒な場合、この記事を理解する、必要最低限について、再度まとめます。

桁(「ケタ」)のことを、とくに２進法の場合には「ビット」と呼ぶのでした。
1ビットめの最初の数＝1 ,　2ビットめの最初の数＝2 ,
3ビットめの最初の数＝4 , …
それぞれ、１の位 , ２の位 , ４の位 , … と言い、kビットめの値が２の(k-1)乗すなわち、(k+1)ビットめの最初の数が２の k乗 となっているのです。(ビットの番号よりも指数が、１少ないです。注意。)

ちょうど十進法で、一桁めの最初の数＝１, 二桁めの最初の数＝10, 三桁目の最初の数＝100, … となることと同様。
いずれも、基数( n進法の「n」のことを基数と言いました。 )の累乗( 桁数ー１乗) で表されます。

すべてのビットが１である数にも注目してみると、

ーと言えます。今までのをまとめると、

ということが分かりました。

ビットパターンなどとも言いますが、２進数はとにかく、「0」か「1」かしかない数の表し方。
とくに一方の数字しか使わない極端な例が、
「 kビットすべて１の数」あるいは、ゼロ。そのうち、
「 kビットすべて１の数」の値の方も大事なのです。
次もまた、ビットパターンの練習になる内容です。

補数とは何か

ある２進数の、数字「0」を「1」に,「1」を「0」に。つまり２種類の数字を互いに逆の方にすることを、
ビット反転させると言います。

最上位のビットが「0」だから、1010\({}_{(2)}\) と答えたくなるところですが、後にも注意を促すように、
最初のビット数(桁数) のまま 固定する(決めておく) 必要があります。
固定したビット数の中に上の方の位で使わないビットがあれば、「0」と記すべきなのです。

この、もとの数をビット反転させただけの数を、
もとの数の補数 (「減基数(=１) の補数」) と呼ぶこともありますが通常、さらにそれに１を足した数の方が、補数 (「基数(=２) の補数」) と呼ばれます。

もとの数をビット反転させただけが「エムスター」、
それに１を足すというのが補数「エムバー」の計算法。
「エムバー」＝「エムスター」＋1 だと言えますね。
補数を求めるには２手順ある、と憶えましょう。

ただしその前提としてビット数を決めておくこと。既定のビット数 k に決めて、それに固定しておかなければなりません。その理由は、

\(\dotsm\)となるからです。
最初に決めた(「既定の」)ビット数のまま固定で、その中に使わない上位のビットがあるときそのときに限り、「0」と言わなければならないのです。

もとの数 M と、その補数との間の関係を、数式も使いながら、詳しく見ていきましょう。
足し算してみると気づくことがあります:

ここからさらに、「エムスター」でなく、いわゆる補数である「エムバー」との関係を見るのは難しくないです。
等式変形( 移項 ) を使って：

既定のビット数 k は、最初で固定してあったので、
もとの数 M もその補数「エムバー」も、いずれも k ビット(ケタ) の数。したがって、

ーということが分かります。

それでも、いま一つ「補数」の意味が分からない、と思っている読者もいるかもしれません。
そこで、２進法だけでなく10進法でも補数は同様に考えられるので、見てみましょう。

いわば補数とは、「その数に足せばきっちりした数になる」数のこと。ただし「きっちりした数」とは一桁くり上がったばかりの数。
10進法でも２進法でも、任意の n進法でも、そういうことなのです。

しかも、各ひとケタ(１ビット) ずつに分けて見てみたら、
補数は各ケタ(ビット) にも表れていて、

筆算やソロバンで計算するとき考えることですよね。
「１借りてくる」から１の位以外「エムスター」です。
「減基数」という語は憶えなくても構いません。「基数ー１」の意味です。

補数「エムバー」の求め方と、性質についてまとめると、

補数の求め方（計算法）
既定のビット数 k をまず決めておいた上で
【１】もとの数Mをビット反転させたものに、
【２】１を足す。
補数の性質
もとの数もその補数も、kビットの数で、
それらを足したものは、(k+1)ビット最初の数。
( (k+1)ビット最初の数は２の k乗。 )

負の整数を補数で表現する

ビット数(桁数)を既定として決めておくこと。前提であると、前に述べました。
その理由は、前に述べたことだけでなく単純に、上限を既定としておかないと計算に時間もかかりますし、記憶領域も多く占有してしまうことになります。
実際、旧来からのプログラム言語では、整数型は32ビットまで、と決められてきました。

上限つまり使えるビット数「32ビット」とはいえ、数えられる数は膨大です。累乗の式や計算に慣れていないとピンときません。
そこで話を簡単に。さらに昔のコンピュータに戻った気分で、使えるビット数が「４ビット」としてみましょう。
ともかく上限があるという点は共通。原理は同じです。

使えるビット数が４ビットだとすると、場合の数の計算により、
２×２×２×２＝２の４乗＝16 通り。
「２」なのは数字が「0」か「1」か、２進法の基数、１ビット当たり２通りだから「２」です。
よって16 通りの数まで数えられるのですが、１からでなく０から数え始めるから１つ手前、２の４乗ー１(＝16－1＝15) まで、数えられるでしょう。

少ない数で分かってしまえば類推と数式で、使えるビット数がたとえ32ビットの場合であっても、
０から２の32乗ー１までの数を数えることができると、
正しく答えることができます。

話を４ビットの場合に戻します。
今のままでは普通に、０から15までの数を表すことができています。普通なので、そこに負の数はありません。

そこで、ある解釈のルールを導入することで、０から15までの数のうちの半分を、負の数に変換してあげるようにするのです。
「ある解釈のルール」とは !? ー先ほど述べた、補数を利用するのです。
補数表現と呼ばれます。

「変換」と言っても難しくありませんね。この変換を使って、０から15までの数のうちの半分を読み替えるのです。

０から７まではそのままの数で、８から15までは、補数表現の変換が適用。すなわち０から15までのうち
８を境にして、数値の解釈方法を変えるのです。
「８未満か８以上か」識別するには、コンピュータ的にはどこを見るのが最適か!?ー
そこでまた２進法に注目しましょう。

そうですね。４ビットめが「０」か「１」か、で、８未満か以上か、に分かれるのです。今は既定の( 使える )ビット数 k＝４としていますので、最上位のビットです。
したがって、

一般に、既定の( 使える )ビット数＝k のときでは、

ーのように変換されるということです。

しかし「補数表現の変換」というのに
「16 (または２の k乗 ) を引く」と言って、
なぜ、補数が出てくるのか？ーそれを見ておきましょう。

この数式が、補数の性質の代表。これをスタートにします。
実は補数の性質とは互いの関係です。つまり、Mの補数が「エムバー」であるなら同時に、「エムバー」のまた補数がMとなっています。
この数式を等式変形すると、

だから、16( ２の k乗 )を引くと、異符号ですが、もとの数M に対して、補数「エムバー」が現われるわけなのです。
「16( ２の k乗 )を引く」ことと
「その補数を求めてマイナスをつける」は、同じ意味( 同値 ) ということが、分かります。

「16( ２の k乗 )を引く」ことから説明したのですが、コンピュータが実際に変換計算を行うときにはそちらでなく、あくまでも「その補数を求めてマイナスをつける」方で計算します。
実際「２の k乗」自体、既定のビット数 k で表せる数を超えており、人間に説明するときの計算方便でしかありません。

この「変換」の逆。負の数が入力されたとき、その絶対値の補数に変換する方もまた、コンピュータは行う必要があります。
そちらの方を、この記事では「逆変換」と呼ぶことにします。

「逆変換」は「逆」ですから「16( ２の k乗 )を足す」操作ということになり、また、
「マイナスを取り除いてその補数を求める」操作と同値です。

まとめると、次のようです：

これら双方の変換を使うことでコンピュータは、正負の整数の加法( 減法 )を実行するのです。
そのしくみをさらに見ていくことにしましょう。

補数を使うことでもありますし、依然、使える既定のビット数( 上限 ) k は、決めておくこととし、とくに k＝４として説明を続けます。

補数を使った減法演算の方法

例題として、

このような減法演算の問題では決まって、
「(既定より)上のビットは無視せよ」と言われます。
本当に良いのかどうか見るのは後にして、とりあえず解答しましょう。

各項は、絶対値のみ２進数になっています。マイナスの項を補数表現に変換、つまり、
負の項のマイナスを取り除いて補数に変換するのです。
(1) ー0010\({}_{(2)}\,\longrightarrow\) 1110\({}_{(2)}\) という、逆変換つまり、
　補数の求め方（ビット反転して、１を足す）を行い、
　他と足し算。既定のビット数より上( 16の位以上 )は、
　無視して、答を得ます。

(2) ー0111\({}_{(2)}\,\longrightarrow\) 1001\({}_{(2)}\) と、補数を求め、
　他と足し算。既定のビット数より上にはくり上がり
　ませんが、有効な最上位のビットが「1」となるので、
　負の数へと解釈する変換が最後、必要です。
　最上位のビットが１( 負の印 )ならば、
　補数にしてマイナスをつけるという変換です。

引き算 (減法) 以前に、
２進数の足し算 (加法) 計算のできる必要があります。
簡単にここで復習しておくと、

なおこの例題では、符号を取り除いた値(絶対値) の、最上位ビット(４ビットめ) はすべて「0」となっています。
既定のビット数で扱える数の範囲を守ればそうなる( 負の最小の数だけは「1」) はずですが、そうなっていない数値で出題されてしまうこともあります。

その場合、(2) で最後に行った方の補数変換を行うと、符号がおかしくなってしまいます。その場合は最後の方の補数変換はスキップです。
もし分からなければ最悪、10進法に直して計算すればできるでしょう。

例題の計算をコンピュータが計算する手順を10進法で説明すれば、次のようになります。

この計算過程の図示から、「既定より上のビットは無視」して良い理由が分かってくるでしょう。
今は減法つまり、異符号の加法演算です。
(逆)変換によって、真の答よりも16( ２のk乗 ) が足されますので、最後の変換で16( ２のk乗 ) を引くということは、もとの値が復元されるわけですから、原則として計算は正しくできます。
最後の変換の直前の値が16( ２のk乗 ) 以上の場合、２進法では16( ２のk乗 ) の位が立っているということを意味し、最後16( ２のk乗 ) を引く変換をするとは16( ２のk乗 ) の位を見ずに答を出すということですから、無視するということです。
一方、最後の変換の直前の値が16( ２のk乗 ) 未満の場合、16( ２のk乗 ) の位は立ちません。
その場合の最後の変換は、まさに補数表現の変換になるのであって、全く16( ２のk乗 ) の位以上を使う危険もなく、計算は完結できます。
したがって、いずれの場合でも、16( ２のk乗 ) の位以上を無視して良いことになるのです。

コンピュータが行う減法演算（異符号の加法）の手順をまとめると、

【１】負の項の方を、補数に (逆)変換
　　 (マイナスを取り除いてその補数を求める)
【２】他の項との間で、加法演算する
【３】桁あふれ（くり上がり等）は無視、
　　　既定の桁の中で必要なら補数表現の変換で解釈。

符号つき(正負の) 加法の安全性

これまで、コンピュータが負の整数を扱えるよう、補数表現というものを考えてきました。
その前提として、既定のビット数の上限を決めておく必要が出てきていました。
４ビットまでとすれば、０から15まで。負の数を扱う解釈ですと、ー8から+７まで。( 32ビットとすれば、マイナス２の31乗からプラス２の31乗マイナス１。 )
いずれにせよ、扱える数には上限下限が、厳然と存在するということです。

そこで、既定４ビットまで( 扱える数ー8から+７まで ) のところを例えば、
12＋3 などという計算はできません。
12が扱える数(７まで) の上限を超えているからです。
この場合、算式を構成するもとの各項をチェックすれば、計算を始めてはならないと分かります。

それでは７+６はどうでしょうか？
７も６も扱える数の範囲内なので、算式を構成する各項に問題はありませんが、人が計算してみれば分かるように、答は13。計算結果は、扱える数の範囲をオーバーします。

そのような計算をコンピュータに与えても、大丈夫なのでしょうか？

もし (ここまで説明したルールしか決められていない)コンピュータが、この「７+６」を計算したならば、こうなるでしょう：