微分積分とは？不定積分や定積分についてもわかりやすく解説

微分・積分とは何か？【わかりやすく解説】

微分・積分とは何か？
結論からズバリ言いますと、

微分とは・・グラフの接線の傾き

積分とは・・グラフの面積の計算方法

「微分積分」と言われるのは、「微分(法)」と「積分(法)」という２種類の計算のことです。

しいてどちらの方が役に立つのか!?
といえば、正直、微分よりも積分の方が役に立ちます。

例えば、この三角形の面積は？
そうですね。正方形（長方形）の面積に注目して

\(\dfrac{\,1\,}{2}\) をかけるのでしたね。
これはまあ分かります。確かに、半分になっていますよね。

それでは、次の体積ですが、どうでしょうか？

そうでした。\(\dfrac{\,1\,}{2}\)ではなく \(\dfrac{\,1\,}{3}\) をかけるのでした。
小学生や中学生の時、やった記憶がありました。

でも、どうして!? ー 

その理由が実は、積分によれば、分かるのです。

「あれ、積分って体積じゃなくて『面積』って言ったよね？」

ー 言いました。しかし続けて その「計算方法」とも言いました。

「？？」

ちょっと意味深。
詳しくは 身の回りにある微分積分を使った事例 で説明することにしましょう。

ともかく積分は、微分よりも役に立ちます。

ところがその計算は、三角形の面積みたいな単純計算では、できないことが普通。

そんなとき、微分の計算 を利用する 方法が 有効。
微分計算の「逆」をやれば、答えが出せるということが、実は分かってるからなのです。

… それで、まず、微分 の方から、見ていくとしましょう。

「グラフの接線の傾き」その前に

これから例えば、\(y=x^2\) のグラフを扱います。
\(y=x^2\) ってどんなグラフでしたか？

こういうグラフでした。
確か中３の最後に出てきましたね。

そもそも「グラフ」って何でしたっけ？…

グラフとは、

もとの 関数式（例えば \(y=x^2\) ）の、
\(x\) に いろんな 値を 代入・計算、
打っていった点を つないだもの

でした。

点を打つ場所は「座標」と言い、
座標(左側の数, 右側の数)は必ず、

左側の数⇒よこの目盛  、右側の数⇒たての目盛

のように読み取って、グラフ用紙に記入する約束でした。
左右逆にしないよう、気をつけておきましょう。

一般に「\(y=x^2\)」以外の式。例えば
「\(y=x^3\)」とか「\(y=x^3 +2x^2 -1\)」などでも、
同じようにやれば、
グラフをかくことができます。

\(y\) の値を決めるのは それら 式の右辺。\(x\) の式だから、
それを記号で \(f(x)\) などと表します。

「関数 \(f(x)\,\)」、「グラフ \(y=f(x)\,\)」という
言い方をします。

グラフをかくときには、大事な約束事があります。

いろんな値を代入していく方の変数 \(x\) は、よこの目盛り 、
計算して値が決まる方の変数 \(y\) は、たての目盛りで表す

という約束です。

すなわち、
よこの目盛り \(x\) がいろんな値を変化するとき、それにあわせて、たての目盛り の値 \(f(x)\) が どう変化するかを表したものが、関数のグラフ

ー ということになります。

中学～高校数学では、よこの目盛りが大体は \(x\) で、関数の式は \(x\) を使って表しますが、理科（物理）では、よこの目盛りを時刻 \(t\) にすることが多いですね。

… 微分の話へと進めましょう。

微分とは、グラフの接線の傾き

微分とは「グラフの接線の傾き」です。

例えばグラフ \(y=x^2\) 上の一点、例えば A\((1,\,1)\) に決めて、接線を引いてみます。

接線とは、グラフの曲線と１点だけでかする（１点だけを共有する）直線。
まずは定規でうまい方向を 見つけるやり方で、引けます。

接線が引けたら、\(x\) 軸と平行につまり ま横に、１の長さをとり、
次に \(y\) 軸と平行 つまり縦に、長さを計ってみます。
長さを計ると、２です。

これで傾きが求まります。

「傾き」とは何だったか 復習しておくと、

ここで記号を使いました。「\(x\) の増加量」「\(y\) の増加量」を、「デルタ」という文字を頭につけて、
「\(\Delta x\) 」「\(\Delta y\) 」と書き、「デルターエックス」「デルターワイ」と読みます。

「\(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\)」と書いたからといって、「\(\Delta\)」で約分して「\(\dfrac{y}{x}\)」と
することは できません。

あくまでも「\(\Delta x\)」、「\(\Delta y\)」は一かたまりで一つの文字。
「\(\Delta\)」かける「\(\,x\,\)」や「\(\,y\,\)」の意味ではないのです。

計算にもどって、今の傾きは、

\(\dfrac{\,2\,}{1}=2\)と出るので、
これで１つ、微分が求められました。きちんと言い表すと、

関数 \(y=x^2\) 上の点 A\((1,\,1)\) における微分係数は２である

ーとなります。

略して「微分」でよいのですが、正式には「微分係数」と言います。

理科（物理）では、よこの目盛りが時刻 \(t\) なので、
微分係数つまり接線の傾きは、「瞬間の速度」
という意味になるでしょう。

他の点についても微分

つまり、接線の傾きを調べてみましょう。

\(x\) の値の２倍の値になっている、つまり、値 \(x\) のとき \(2x\) と分かります。
各 \(\,x\) の値に対して \(2x\) の値が対応するわけなので、これも関数。

\(y=2x\) と書いてもよいですが、そうすると
もとのグラフだった \(y=x^2\) と、左辺が同じ \(y\) ではゴッチャになってしまいます。

もとの関数 \(y=x^2\) から、別の関数式が「導かれた」わけだから、

\(f(x)=x^2\) に対して \(f\,’\,(x)=2x\) と書き
「導関数」とか「微分した関数」

と言います。

「\(f\,’\,(x)\)」は「エフ ダッシュ X」と読みます。
「エフ プライム X」と読む人もいます。
\(y\,’\)（「ワイダッシュ」）という記号もよく使います。

「 関数 \(f(x)=x^2\) を微分すると \(f\,’(x)=2x\,\) 」,
「(もとの) 関数 \(y=x^2\) の導関数は \(y\,’=2x\,\) 」、

などと言えます。

関数記号「\(f\,\)」を使わずに、

$$\Large{(x^2)\,’=2x}$$

のように書くこともできて、これがいわゆる
「微分の公式」です。
この「ダッシュ」記号によれば、

関数 \(f(x)=x^2\) 上の点 A\((1,\,1)\) における微分係数 \(f\,’(1)=2\) である

ー と言い表せます。つまり、
当初一点 A\((1,\,1)\) いわば \(x=1\) のとき だけ に注目して 値を求めたことが、いろいろな実数 \(x\) に対する値がもう既に分かっていて、特定の値 \(x=1\) のときは代入で簡単に求められることになったのです。

今度からは、「２」という答えを出すとき、

「関数 \(f(x)=x^2\) を微分すると \(f\,’(x)=2x\) だから \(x=1\) を代入、\(f\,’(1)=2\ \ .\) 」

というように、公式代入で、すぐ出せるようになります。

他の関数式についても、微分の公式はあります。

それぞれの関数のグラフで、いろんな点における接線の傾きを調べていけば、先ほどと同じように求めることが可能です。

\((x^0)\,’\) つまり \((1)\,’\,=0\) , \(\quad (x^1\,)\,’\,=1\) , \((x^3\,)\,’\,=3x^2\ \dotsm\) が成り立ちます。

まとめると、

$$\Large{(x^n)\,’=nx^{\,n-1}}\ \ (n\text{は整数})$$

その他にも、知られている公式として、

$$\Large{\{a\,f(x)\}\,’=a\,f\,’(x)\quad}$$

定数倍は どけて計算すればよい という意味ですね。

以上、微分とは、
もとの関数のグラフの各点における接線の傾きであり、
公式によって計算で 簡単に求められること まで、
見てきました。

「そもそも なぜ『接線の傾き』なのか」

という疑問には、微分の定義をしっかり のところで答えます。

積分とは、グラフの面積の計算方法

微分の話はいったんそれくらいにして、積分の話に入りましょう。

積分とは、グラフの面積の計算方法です。

まずは単純な形のグラフの復習です。

このグラフの関数式は、何でしょうか？。

ー そうですね。\(y=\displaystyle \frac{\,2\,}{3}x\) です。

原点 O を通る直線は \(y=mx\) という形の (関数)式。

「比例のグラフ」とも言われました。そこで、

傾き \(m=\dfrac{\,4\,}{6}=\dfrac{\,2\,}{3}\) だからです。
\(f(x)=\dfrac{\,2\,}{3}x\) と書いてもよい。

では、次の面積はいくつでしょうか？:

\(y=\dfrac{\,2\,}{3}x\) に代入して分かるように、点Aの高さ（ \(y\) 座標）は２、点Bの高さ（ \(y\) 座標）は４。台形で、「たて」の長さの方を底辺（上底、下底）と考えて、

「インテグラル 3から 6までの \(\displaystyle \frac{\,2\,}{3}x\) ディーエックス」
と読みます。

このように面積を式で表す、それが 積分 なのです。

「インテグラル」と続きの記号は どういう意味か !? :

それは、

切り方を細かくしていくほど、実際の面積との誤差というかズレが、だんだん小さく、ゼロに近づいていきますよね。
その到達するであろう 極限 において

よこの長さが微小な 細長い長方形を全て
足しあわせる

という意味なのです。

グラフが上側の境界線になっているので
「上の輪郭関数」という名前で呼ぶことにしましょう。（正式名称ではありません。）

今の「上の輪郭関数」は、\(y=\dfrac{\,2\,}{3}x\)です。\(f(x)\) です。

細長い長方形。一つぶんを拡大してみると、こうです↓

よこは微小な長さ \(dx\) とは、
よこの増加量 \(\Delta x\) の、ゼロに近い極限として表した記号。

これも「 \(\Delta x\) 」と同様、
「 \(dx\) 」の「\(d\)」と「\(x\)」は分けられない、一塊で一つの記号です。

\(x\) は一点（位置）を表し、\(dx\) は 幅（増加量）を表す、
\(x\) と \(dx\) は別々の記号。例えば
「 \(x=3\) の位置から 微小な長さ \(dx\) だけ進む」
のような意味で使います。

よって、長方形一つ一つの面積が、たて×よこ\( =f(x)\,dx \) 。

そのような長方形が 横方向に集まっていて、足しあわせたものは、
グラフとの間の面積になっている、という考え方です。

今は「上の輪郭関数」が 直線 \(f(x)=\displaystyle \frac{\,2\,}{3}x\)でしたが、
\(f(x)\)が一般の関数、曲線であっても同じように考えれば、やはり実際の面積とのズレは、ゼロに近づいていくでしょう。

「上の輪郭関数」\(f(x)\) は曲線でも何でも 構いません。

以上で見た、積分の記号の意味をまとめておきます:

言い忘れました。区間の計り始めの数 \(a\) は、インテグラル記号の下の方に。
区間の計り終わりの数 \(b\) は上の方に書きます。

「から」の数はインテグラルの下、
「まで」の数は上

と憶えておきましょう。

積分は面積の計算方法ですが、注意点

「積分は面積」と言ってきました。しかし通常の面積の計り方と異なる点も出てきます。みていきましょう。

先ほどのグラフを使って。まず、この積分の値はどうでしょうか？:

これは三角形の面積ですね。区間左側の境界線は一点になって見えます。だから、

$$\displaystyle \int_{0} \!\!\!\!\! \phantom{l^{\int}}^{6} \frac{\,2\,}{3}x\,dx\, \left( =6\times 4\times \frac{\,1\,}{2} \right) =\mathbf{12}$$

です。

では、次の積分はどうでしょうか？ \(x\) が \(-3\) から 3 まで です：

答えは両方を足した、３+３=６ でしょうか？
実は０になるのです。

積分で計る面積とは、「符号つき」すなわち、

よこ軸よりも 下で測る面積の分は、負(マイナス)の数となって
数えられるのです。

積分と、通常の面積の測り方は、その所が異なります。

$$\displaystyle \int_{-3} \!\!\!\!\!\!\! \phantom{l^{\int}}^{\!3} \ \frac{\,2\,}{3}x\,dx\, =-3+3=\mathbf{0}\ .$$

なぜ \(x\)軸より下で測ると マイナスになって数えられるか、理由をみておきましょう。

グラフが \(x\)軸より下に潜りこんでいる所。原点Oよりも左の領域では、\(f(x)\)の値は、負の数になります。
\(x=-3\) の所での\(f(x)\)の値 \(f(-3)=-2\) になるなど。

積分とは、長方形の面積＝たて×よこ、
というよりもむしろ、
\(f(x)\times dx\) の値を足しあわせた総和なのでした。

言わば「たて」に相当する\(f(x)\)の値は、正の数ならばきちんと面積を表しますが、負の数だと、面積にマイナスをかけた負の数として計算するのが積分なのです。
ただし「よこ」に相当する \(dx\) は正の数。\(dx\)とは増加量で、今の場合\(x\) は\(-3\) から\(3\)まで変化するので増加し続ける、正です。

したがって、グラフが \(x\)軸より下に潜りこんでいる領域では、積分は負の値になるのです。

積分とは、グラフと横軸との間の 符号つき 面積の値

と言えるでしょう。

グラフのことを「上の輪郭関数」とも言いました。
「上の」と強調したのはこういう理由で、
もし「下の」輪郭になっていたら、その分の面積は、積分の値と 異符号 なのです。

不定積分と定積分の違いとは？

今までの積分は実は、「定積分」というものになります。

左右とも境界線が定まっていた、つまり
\(x\) の値が、「から」の数 \(a\) と「まで」の数 \(b\) の間と
決まっていました。

それに対し、左の境界線（「から」の数）は決めておく・固定しておきますが、
右の境界線（「まで」の数）を、変数 \(x\) として 変化させてみます。

例えば、\(a=-1\) に固定しておき、
\(x\) を２,３, … など変化させたとき、\(x=2\) のときの値 \(S(2)\) は、-1から2までの間のグラフより以下 の部分の面積。例えば、7.2くらい、
\(x=3\) のときの値 \(S(3)\) は、-1から3までの間のグラフより以下 の部分の面積。もう少し広くなって例えば 9.8 … というように。
\(x\) の値が 変化するのにあわせて、\(S(x)\)の値も変化するという、「面積の関数」になります。

これを不定積分と言います。\(x\) が自由に変化するので
インテグラルの所にあえて書かず、

$$\ \Large{\displaystyle \int\,f(x)\,dx}$$

のように書きます。

実はこの不定積分で考えると、

「積分は微分の逆である」ことが 証明できます。

そうすると、初めの例のような三角形の形に限らず、
曲線 になっているグラフ と よこ軸 との間の面積であっても、
計算で答えを出すことができるようになるのです。

「積分は微分の逆」を明らかにするため、微分の定義しっかり

そのためには、微分の方も、考え方をさらに整備しましょう。

「微分」とは、何でしたっけ⁉。

グラフ上の各点における接線の傾き、でした。

そのときグラフ上の一点に注目して、そこに接線をひくことを、グラフ上に作図していました。

その接線をひこうと作図するとき、どういうことに気をつけますか？。

そうですね。接線とはその点で「かする」直線だから。

傾きが少しでも大きかったり小さかったりすれば、
その点以外のもう１点すなわち、
２点で交わってしまう ‼
逆に言うと、

２点で交わった状態から、注目する点P以外の方の点をPに向かって近づけていくと、接線の傾きつまり、微分の値となる。

このことを式にしてみましょう。

２点で交わったある状態がスタートで、接した状態がゴール。

２点で交わるとき、２点を結ぶ直線の傾きを、

「変化の割合」または「平均変化率」と呼びます。

それでは、点Pともう１点。２点で交わった状態から、P以外の方の点を、Pに向け近づけていったときの行き先を、表す式です。

点Pの よこの目盛りが \(x\) としましょう。

「lim」と書かれた記号は「リミット」と読み、近づけたときの行き先の値。極限値を表します。

「２点の差\(\Delta x\) をゼロに近づけたときの、平均変化率の極限値」

という意味です。

\(x\) の増加量 \(\Delta x=(x+\Delta x)-x\) です。差です。

\(y\) の増加量 \(\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)\) 、やはり 差。

だから「lim」の続きの式は、平均変化率を表しています。

差を計算するときは 必ず、
「変化した後の値」から「変化する前の値」を引き算
するようにします。気をつけましょう。

この式が、微分をきちんと計算で出すための式。「微分の定義」というものなのです。

\(\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}\)とも書けるので、\(f’(x)\)以外にも微分は

「 \(\displaystyle \frac{dy}{dx}\) 」 という記号も よく使います。

微分の定義 からは、すべて計算することができます。
実は、先ほどの \((x^2)\,’=2x\) なども。
その計算練習は 問題編 のところに回して、とりあえず進みましょう。

ともかく「微分の定義」の式の形だけ、印象に残しておいてください。

「積分は微分の逆」の理由、いよいよ

行ってまた戻ったりで少し混乱するかも ですが、また積分の話です。

積分とは… 「グラフの面積」でした。

積分のうちとくに不定積分の方を考えていきます。

「不定積分」とは…「グラフの面積の関数」でした。

この、グラフの面積の関数 不定積分で、\(x\)から \(\Delta x\)だけ、少しだけ、変化させてみます。

「\(f(x)\,\Delta x\) 」は、やはり「たて×よこ」。長方形です。

\(\Delta x\) は、まだ \(dx\) ほど小さいわけではありません。

「 \(k\) 」は正かもしれませんし、負かもしれません。\(y\) の増加量\(\Delta y\) は、グラフの高さの差 \(f(x+\Delta x)-f(x)\)ですが、グラフが増加ではなく減少すれば、\(\Delta y\) は負になるからです。

負になるかもしれないという意味で、「プラスマイナス」という記号で書いておきましたが、\(k\) は正でも負でも良いので「＋」だけで構いません。

次に、この 出てきた等式の 両辺を \(\Delta x\)で割ってみましょう。

そのあと、\(\Delta x\) を \(dx\) にしてみるつまり、小さくして0 に近づけていってみましょう。

すると、左辺に見えてきた式は何でしょうか？

そうですね。
少し前にやった、微分の定義の式の形ではないですか？。

「\(f\)」が「\(S\)」に変わっただけで。

「\(S\,’(x)\)」と表すことができます。

ここで近づく・動く変数は \(\Delta x\) だけです。

\(x\) は、任意の値ですが、今は動かずある値のまま止まっています。だから値「\(\,f(x)\,\)」も止まったまま。今は定数。
近づいたり動いたりしないから「\(\,f(x)\,\)」に「lim」はつきません。

\(\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0} \frac{k}{\Delta x}\)はゼロです。

つまり、\(\dfrac{k}{\Delta x}\)は、\(\Delta x\)をしぼっていったとき、ゼロに近づきます。「 \(k\) 」とは何だったかというと、面積の関数 \(S(x)\) と \(S(x+\Delta x)\) の差をとったときの、灰色や空色(半々)の長方形の面積でした。

(長方形の面積)\(=\Delta x\times \Delta y\) で、\(\displaystyle \frac{k}{\Delta x}\)は、ほぼ\(\Delta y\) ということになります。\(\Delta x\)をしぼって0に近づければそれに合わせて、\(\Delta y\) もゼロに近づきます。(きちんと言うと「連続関数」の性質です。)
したがって、\(\displaystyle \frac{k}{\Delta x}\)は、\(\Delta x\)をしぼっていったとき、ゼロに近づくと分かります。

最後の10行くらいがもし分からなければ、

「\(S(x+\Delta x)-S(x)\) は 大体 \(f(x)\,\Delta x\) に等しい」

でかまいません。

そういうわけで、

$$\Large{S\,’(x)=f(x)}$$

つまり

不定積分という面積の関数を微分したものは \(\,{\mathbf{f(x)}}\)

ということが言えて、

積分は微分の逆

つまり記号で言えば

\(\displaystyle \int\,f(x)\,dx = S(x)\) で、\(f(x)\) は \(S(x)\) の微分

だということが、これで分かりました。

積分の計算を確立する

そうすると、積分の計算は、
微分の逆である不定積分 を活用すれば、できる ということになります。

これから逆をやらなければならないので、上のほうで見た微分の公式を復習しましょう。

\((x^2 )’=2x\)、\((x^3 )’=3x^2\) 、… などでしたね。

このうち \((x^3 )’=3x^2\) で見てみると、

●「\(x^3\) 」の微分が「 \(3x^2\) 」で、

● \(\displaystyle \int\,f(x)\,dx = S(x)\) で \(S(x)\) の微分が \(f(x)\) .

ということなので、

\(S(x)\) を \(x^3\) 、\(f(x)\) を \(3x^2\) とすれば(代入すれば)、インテグラルを使った式で こうではないか !? ー

$$\text{「}\ \ \int\,3x^2 \,dx=x^3\ \ \ \text{」}$$

ー しかしこれは 正解とは言えません。

微分の「逆」をやろうとしてるのですが 注意点があり、それは

「本当にただ一通りだけなのか？」

ということです。今の例で言うと、

「微分して \(3x^2\) になるのは本当に \(x^3\) だけなのか？」

ということです。

そうではありません。

\(x^3 +1\) も \(x^3 +2\) も \(x^3 +3\) も、微分すると確かに皆、\(3x^2\) になります。足されてる定数を微分したら皆ゼロになってしまうからです。

何通りもあるのなら、それらすべてを 答え としなければなりません。

そこで正確には

$$\int\,3x^2 \,dx=x^3 +C\ \ (C\text{は積分定数})$$

と表すべきです。積分定数 \(C\) は任意の実数です。

一般に、

$$\int\,f(x) \,dx=F(x) +C\ \ (C\text{は積分定数})$$

ここで \(F\,’(x)=f(x)\)

と言うことができます。

今後、「\(S(x)\)」よりも「\(F(x)\)」を記号として使っていきます。

積分定数 \(C\) の意味についても考えておきましょう。

不定積分の意味とは？ ー 面積の関数 でした。

不定積分は\(\displaystyle \int \,f(x)\,dx\)とだけ書かれましたが、詳しくは\(\displaystyle \int_a \!\!\!\!\! \phantom{l^{\int}}^x f(x)\,dx\) ：起点 \(a\) から、\(x\) までの範囲で計った グラフの面積の値 でした。その計り始め、起点 \(a\) が例えば、\(-1\) だったときの面積の関数と、0 だったときの面積の関数では、永久に、計り始めの違いによる面積の差がついたままです。

それが \(C\)（または\(+C\)）の意味なのです。

不定積分をするときには、どこでもよいが必ずどこかに計り始めの起点がある、と頭の片隅に意識して、必要なときには忘れず「\(+C\)」をつけるようにしましょう。

今 分かった、不定積分の計算を振り返っておくと、

$$\int\, 3x^2 \,dx = x^3 +C\ \ (C\text{は積分定数})\quad\quad$$

です。微分の逆だから。そして\(+C\)を忘れないこと、
でした。

ついでにもう少し。

もっと単純な、「\(\displaystyle \int \,x^2 \,dx\)」が知りたいですよね。

つまり、微分したら \(x^2\) になる関数。どうすればよいでしょう。

微分の公式では\((x^3 )\,’=3x^2\) でした。

難しくありません。両辺に逆数をかければ解決です。

\(\displaystyle \left( \frac{x^3}{3} \right)^{\!\prime}=x^2\) だから、

\(\displaystyle \int \,x^2 \,dx=\frac{x^3}{3}+C\ \ (C\text{は積分定数})\)

となりますね。

それではいよいよ、グラフの面積の両端が定まった、定積分 の計算方法を確立しましょう。

不定積分を使用していきます。

例えば、「２から３までの面積」を求めたいとき。

一方、不定積分とは任意に起点 \(a\) を固定して、

「起点 \(a\) から \(x\) まで」でした。通常は \(a\) は、定積分のいずれの今の端点(２または３)とも異なってかまいません。例えば \(a=-1\)とか。

それならば、どうしても起点 \(a\) から計りたかったとしても、

「起点 \(a\) から右端のほう(３)までの面積」から

「起点 \(a\) から左端のほう(２)までの面積」を引き算する、

ーという計算をすれば、解決です。つまり、

\(\displaystyle \int\, f(x)\,dx=F(x)\) としたとき、

\(\displaystyle \int_2 \!\!\!\!\! \phantom{l^{\int}}^3 \, f(x)\,dx=F(3)-F(2) \)

ーと計算していけばよく、さらに大かっこで \(\displaystyle [\,F(x)\,]_2 \!\!\!\!\!\! \phantom{l^{\int}}^3 \)

のように途中、表すことが多いです。結局

のように書いて、計算を進めるようにします。

右端のほうの数は「まで」の数、左端のほうの数は「から」の数、とも呼びました。

今ここで、確立した定積分の計算を、１つ例題で練習してみましょう。

\(x^2\)の不定積分は？そうでしたね。

\(\displaystyle \int\, x^2 \,dx=\frac{x^3}{3} +C\)  でした。

慣れたら「（\(C\) は積分定数）」は書かなくてもよいですが、

「\(+C\)」を書くことだけは 忘れないようにしましょう。不定積分としては。

今は定積分の計算ですが、その式を憶えておいて、いきなり代入して使います。

\(\displaystyle \int_1 \!\!\!\!\! \phantom{l^{\int}}^2 \, x^2 \,dx=  \left[ \,\frac{x^3}{3} +C\, \right]_1 \!\!\!\!\!\! \phantom{l^{\int}}^2 \)

というように。

この先の計算は？…
「まで」の数を代入した値 －「から」の数を代入した値
をやるでしょう。
そのとき「\(+C\)」は!? たしてまたひくから、消えてどうせゼロになりますね。
そこで計算の工夫。

定積分の場合には、「\(+C\)」は初めから書かない

ようにするのです。それを分かったうえで、はじめから計算を書き直してみましょう。

\(\displaystyle \int_1 \!\!\!\!\! \phantom{l^{\int}}^2 \, x^2 \,dx= \left[ \,\frac{x^3}{3}\, \right]_1 \!\!\!\!\!\! \phantom{l^{\int}}^2 \)

続きは、代入・計算 …

\(\displaystyle \qquad\quad =\frac{2^3}{3}-\frac{1^3}{3}={\mathbf{\frac{\,7\,}{3}\,.}} \)

　… 答えの数値が求まります。

不定積分 ⇒ 「\(+C\)」つける
定積分　 ⇒ 「\(+C\)」は省略する

ということに注意です。

高校で習う微分の公式一覧

「微分の定義」、「微分の公式（抽象編）」 の「和, 差, 定数倍」、「微分の公式（具体編）」 の最初の項目 まで が 数Ⅱ。その他は 数Ⅲ。

• 微分の定義
• 微分の公式（抽象編）
• 微分の公式（具体編）
• 連続性の理論的考察、中間値の定理
• 微分可能性、平均値の定理
• 第２次導関数の性質：凸性

微分の定義

　定義のし方から、\(f\,’(x)\) 以外にも \(\displaystyle \frac{dy}{dx}\)
という記号もある！

\(x\)が一つの決まった値\(a\) のときを微分係数、実数\(x\)を動かす使い方のときを導関数と呼ぶ。

この値が定義できるときを、「微分可能」と呼び、そうでないときを「微分不可能」と呼ぶ。微分可能性が問題になる場合は数三で。

以下の公式はすべて、微分の定義から証明される！

定義の意味「グラフの接線の傾き」ということから直ちに、
接線の方程式：\(y-f(a)=f\,’\,(a)\,(\,x-a\,)\) ,
法線の方程式：\(y-f(a)=-\dfrac{\,1\,}{f\,’\,(a)}\,(\,x-a\,)\)
ー と記せる。ただし分母になる値は\(\neq 0\ \ \)。

ここで述べておくと、
（ある範囲で定義された）導関数 \(f\,’\,(x)\) が

　極大値または極小値を 極値 と総称する。
\(f\,’\,(x)=0\) となっただけでは極値になるとは限らない。前後で符号変化しない限りは。
これら性質を応用した、増減表をかくことで、グラフを描くことが可能になる。

微分の公式（抽象編）

微分可能な関数\(f(x),\,g(x)\)、\(a,\,b\) は実数のきまった数。

微分の公式（具体編）

• \( (x^{\alpha} )\,’=\alpha\,x^{\alpha -1} \) (\(\alpha\neq 0\) )
  定数関数\(C\)の場合、\(C\,’=0\,.\)
• \( (\sin x )\,’=\cos x ,\, (\cos x )\,’=-\sin x  \)
• \( (\tan x )\,’=\displaystyle \frac{1}{\cos ^2 x}  \)
• \( (e^x )\,’=e^x ,\, (a^x )\,’=a^x \log a \)  (\(a>0\) )
• \( (\log x )\,’=\dfrac{1}{x} \)  (底は自然対数の底\(e\) . )
• 対数微分法：関数 \( y=f(x) \) を微分するのに、
  両辺の「log」(底は自然対数の底\(e\) )をとり
  \( \log y =\log \{ f(x) \} \)
  　　　　　　　↓
  それから微分する。
  \( \{ \log y\}\,’ =\displaystyle \frac{y’}{y} \ \Longrightarrow\ y’\,= y\,\{ \log y\ \}’ \ . \)

連続性の理論的考察、中間値の定理

• 関数 \(f(x)\) が \(x=a\) で連続 とは、
  　\(\displaystyle \lim_{x\to a}\,f(x)\) が存在（両側極限 ! ）して\(=f(a)\)
  なること。
  　「微分法」の単元に含めて語られますが、連続性は本来、微分法からは独立した性質です。
• 【中間値の定理】
  　区間 \([\,a\,,\,b\,]\) で連続な関数 \(f(x)\) は、\(f(a)\) から \(f(b)\) の任意の値をとる。
  　このことを明確に表すには、\(f(a)\) と \(f(b)\) の値が 異符号 になるように設定し、0 となる値が少なくとも１つ存在する、という言い方をする。

微分可能性、平均値の定理

• 「微分の定義」の値が存在（両側極限 ! ）するとき、微分可能であるという。
  　　微分可能 \(\Longrightarrow\) 連続 である！
• 【平均値の定理】
  　区間 \([\,a\,,\,b\,]\) で連続、\((\,a\,,\,b\,)\) で微分可能な関数 \(f(x)\) は、少なくとも１か所の\(c\) \((\,a<c<b\,)\) における微係数 \(f\,’\,(c)\) が、両端の平均変化率\(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\) と等しくなる。
  　← 両端の値が等しい場合の ロルの定理 から導かれる。ロルの定理は、最大値原理と呼ばれる大学で学ぶ知識からまた示されるので、高校では証明できなくてよい。

第２次導関数の性質：凸性

関数 \(f(x)\) を微分し、続けてもう１回微分した関数を、第２次導関数 \(f\,{}^{\prime\prime}\,(x)\) という。「エフ ツーダッシュ X」
例：\(f(x)=x^4\ \rightarrow\ 4x^3 \rightarrow\ 12x^2\,=f\,{}^{\prime\prime}\,(x)\)

$$\begin{cases} \text{ある範囲で }f\,^{\prime\prime}\,(x)>0\ \Longleftrightarrow\ 下に凸 \\ \text{ある範囲で }f\,{}^{\prime\prime}\,(x)<0\ \Longleftrightarrow\ 上に凸 \end{cases}$$

「下に凸」とは例えば、\(y=x^2\) の形状。任意の２点を線分で結ぶと、常にグラフが下側にある形状。
「上に凸」とは例えば、\(y=-x^2\) の形状。
思い浮かべるとよい。
\(f\,{}^{\prime\prime}\,(x)=0\) となり、前後で符号変化する場合、その点を 変曲点 という。

高校で習う積分の公式一覧

「具体的な公式１」の２項目め までが 数Ⅱ。以降は 数Ⅲ。

• 不定積分が、微分の逆。「\(+C\)」を忘れないこと。
• 定積分
• 定積分で例えば「\(\displaystyle \int_3 \!\!\!\!\! \phantom{l^{\int}}^2 \ \dotsm \)」
• 具体的な公式１
• 置換積分
• 部分積分
• 具体的な公式２
• 分数関数（有理関数）の積分のまとめ

不定積分が、微分の逆。「\(+C\)」を忘れないこと。

定積分

定積分で例えば「\(\displaystyle \int_3 \!\!\!\!\! \phantom{l^{\int}}^2 \ \dotsm \)」てのも可。

● \(\displaystyle \int_b \!\!\!\!\! \phantom{l^{\int}}^a \ \dotsm =-\int_a \!\!\!\!\! \phantom{l^{\int}}^b \ \dotsm \)　　　● \(\displaystyle \int_a \!\!\!\!\! \phantom{l^{\int}}^a \ \dotsm =0 \)
● \(\displaystyle \int_a \!\!\!\!\! \phantom{l^{\int}}^b \ \dotsm +\int_b \!\!\!\!\! \phantom{l^{\int}}^c \ \dotsm =\int_a \!\!\!\!\! \phantom{l^{\int}}^c \ \dotsm \)
　（ただし各等式内の被積分関数は共通のこと。）

具体的な公式１

• \( \displaystyle \int\, x^{\alpha}\,dx = \frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C \)　( \( \alpha\neq -1 \) の実数)
• ６ぶんの公式：
  \(y=a\,x^2\) の形の放物線と直線が、\(x=\alpha\,,\,\beta\) の２点で交わるとき、間の囲まれる面積 \(S=\dfrac{|\,a\,|}{6}\,|\,\alpha -\beta\,|^3\) .
  　証明は、\(\displaystyle \int_{\alpha} \!\!\!\!\! \phantom{l^{\int}}^{\beta}\ a\,(\,x-\alpha\,)\,(\,x-\beta\,)\ dx\) の絶対値を計算すればよい。
• \( \displaystyle \int\, \sin x\,dx = -\cos x +C,\)
  　\(\displaystyle \int\, \cos x\,dx = \sin x +C \)
• \( \displaystyle \int\, e^x\,dx = e^x +C\ ,\ \int\, a^x\,dx = \frac{a^x}{\log a} +C\)　( \( a>0 \) )

置換積分（積分テクニック１）

部分積分（積分テクニック２）

積分したい関数が例えば、\( e^x\,\sin x \)のように、関数の積(かけたもの)になっていて、かけられている要素(例えば\(e^x\)だけとか\(\sin x\)だけ) だけだったら積分できるのに… というときには、この積分テクニックが使われる。定積分の方で説明すると、

\( \displaystyle \int_a \!\!\!\!\! \phantom{l^{\int}}^b \,f(x)\,g(x)\,dx = \int_a \!\!\!\!\! \phantom{l^{\int}}^b \,\{ F(x) \}\,’\,g(x)\,dx\)

　　　　\( \displaystyle =[\, F(x)\,g(x)\,]_a \!\!\!\!\!\! \phantom{l^{\int}}^b \mathbf{-} \int_a \!\!\!\!\! \phantom{l^{\int}}^b \,F(x) \,g\,’\,(x)\,dx\) 

\(f(x)\)の方を上げる(積分する)方で表したが、\(g(x)\)の方でも同様。

具体的な公式２～積分テクニック１，２によって得られるもの

• \( \displaystyle \int\, \frac{f\,’\,(x)}{f(x)}\,dx=\log |f(x)|+C \)
  　例えば \( \displaystyle \int\,\tan x\,dx= -\log |\tan x| +C \) 、
  　　　　　\( \displaystyle \int\,\frac{dx}{x}=\log |x| +C \) .
• \( \displaystyle \int\, \{ f(x)\} ^{\alpha} f\,’\,(x)\,dx=\frac{\{ f(x) \} ^{\alpha +1} }{\alpha +1}+C \)
  　 　　( ただし \( \alpha\neq -1 \) )
• \( \displaystyle \int\,\log x\,dx = x\,\log x-x+C \)
• \( \displaystyle \int_a \!\!\!\!\!\! \phantom{l^{\int}}^b \,f(A^2 -x^2 )\,dx\) → \( x=A\sin\theta \)とおく
  　　　( ただし\(A>0\)、\(|a|\,,\,|b|\leqq A\) 。)
• \( \displaystyle \int_a \!\!\!\!\!\! \phantom{l^{\int}}^b \,f(A^2 +x^2 )\,dx\) → \( x=A\tan\theta \)とおく

分数関数（有理関数）の積分のまとめ

一般の分数関数を積分するとき、まず分子を分母で割り、余りを出す。

\(\displaystyle \frac{A(x)}{B(x)}=\frac{B(x)Q(x)+R(x)}{B(x)}=Q(x)+\frac{R(x)}{B(x)} \)

　　　↓

次に、そうして残った分数の部分の、分母を実数の範囲で因数分解。

そして、R/B 部分について一般的な部分分数分解：

\(\dfrac{\phantom{mmm}P(x)\phantom{mmmm}}{(x-\alpha )^m (\text{虚数解の２次式})}\)

\(\ \ =\dfrac{a_1}{x-\alpha}+\dotsm +\dfrac{a_m}{(x-\alpha )^m}+\tfrac{\displaystyle bx+c}{(\text{虚数解の２次式})}\)

係数は、通分して、係数比較で求める。

　　　↓

各項を別々に積分すればよい。ただし

\(\displaystyle \int\,\frac{1}{\scriptsize{(\text{虚数解の２次式})}}\,dx = \int\,\frac{1}{(x+\beta )^2 +R^2 }\,dx \)
平方完成した

\(\displaystyle \int\,\frac{1}{(x+\beta )^2 +R^2 }\,dx=\frac{\,1\,}{R}\text{Arctan}\,\frac{x+\beta}{R}+C \)

身の回りにある 微分積分を使った事例

「積分は面積」と言ってきたのですが、最初の方の例題：

のように、体積の計算にだって応用できるのです。

なぜ「 \(\dfrac{\,1\,}{3}\) 」をかけるのか？

積分を使って、解答してみましょう。

前に、積分とは「グラフの面積の『計算方法』」と言ったのはこのためです。すなわち、\(x\)における断面積の値を関数・グラフとすることで、体積を求めるために「グラフの面積」を計算すればよいからなのです。

計算を最後の近くまでやっておきましょう。

\(\displaystyle \int_0 \!\!\!\!\! \phantom{l^{\int}}^{6}\, x^2 \,dx = \left[ \,\frac{x^3}{3} \,\right]_0 \!\!\!\!\!\! \phantom{l^{\int}}^{6} \)

　　　　　　　　\( =\displaystyle \frac{\,1\,}{3}\times 6^3 \)

　　　　　　　だから、\( \displaystyle \frac{\,1\,}{3} \)をかけることになるのです。

計算を最後まで行うと、答えは72 [\(\text{cm} ^3 \)]となります。

問題編

まずは、微分の公式を、計算で導いて（証明して）みましょう。

[例題１] \((\,x^2\,)\,’\,=2x\) を証明しなさい。

[解] 微分の定義を使います。
　　\(\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\,\frac{(\,x+\Delta x\,)^2 -\,x^2}{\Delta x}\)

　　\(\Delta x\) はゼロに近づく数ですが、ゼロと等しくはしない数。だから割れます。lim の式は最後に、ゼロに等しくなっても構わない つまり、代入できるようになった場合（本当はゼロの所で連続性が成り立つから）には初めて、代入して答えてよくなります！